Living on Holand

       Setelah sebelumnya aku menceritakan garis besar pengalamanku tinggal di Belanda, kali ini aku akan ceritakan pengalaman ku selama disana.

       Aku berangkat dari Indonesia ke Belanda menggunakan direct flight dari bandara soeta ke schiphol selama 15jam, beruntungnya perjalananku ke Belanda tidaklah seorang diri sebab aku bersama kakakku yang juga akan melanjutkan pendidikan disana sehingga tidak terlalu bermasalah ketika harus selama 15jam dalam pesawat. Setibanya kami di Schiphol dan kami telah selesai check bagasi hal yang pertama kali kami lakukan adalah tarik tunai dana dalam mata uang euro (untuk hal ini kami memang sudah memiliki tabungan euro di salah satu bank di belanda yang punya cabang di jakarta). Setelah itu kami segera membeli OV-Chipkaart seharga € 7,50 kami fikir senilai itu sudah termasuk saldo ternyata belum sehingga kami mengisi saldo OV-Chipkaart kami masing-masing senilai €100. Selian itu kami juga membuat kartu diskon tahunan seharga €50 untuk diskon 40% perjalanan kereta diluar jam sibuk.

          Dari bandara Schiphol tujuan pertama kami adalah apartemenku di Leiden, karena barang yang kami bawa cukup banyak sehingga kami putuskan untuk menggunakan taksi. Dengan biaya €60 kami tiba di apartemenku, sebenarnya ini kali kedua aku ke Belanda tepatnya tinggal di apartemen ini sebelumnya 10 tahun yang lalu aku sempat liburan di sini ketika libur semester. Apartemenku ini memiliki 3 kamar dan 2 lantai, satu kamar di lantai 1 dan sisanya di lantai 2. Kami memutuskan untuk mengisi kamar yang lantai 2 dan kamar di lantai 1 untuk tamu. Setelah istirahat di kamar masing-masing kami memutuskan untuk berbelanja kebutuhan kami disini, meskipun untuk apartemen sudah lengkap termasuk dengan alat masak. Hal yang pertama kami beli adalah sepeda, kami memutuskan untuk membeli sepeda bekas seharga €75 untuk satu sepeda sudah termasuk dengan asuransi dan kunci pengaman ganda dengan banyak pertimbangan.

           Alat transportasi sudah kami miliki, setelah membeli kebab seharga €6 kami menuju Albert Heijn (AH) . AH adalah salah satu supermarket di Belanda, untuk membeli kebutuhan sehari-hari kami meski belakangan kami baru tahu bahwa harga di AH dapat dikategorikan cukup mahal di banding toko Aldi (namun tidak selengkap AH). Ketika di AH kami membagi tugas, aku membeli bahan makanan dan kakakku membeli sabun-sabun untuk mempersingkat waktu.

           Hal pertama yang aku beli adalah beras seharga €25 (10kg), baru selanjutnya aku membeli untuk lauk dan bumbu-bumbu. Aku membeli ayam (€ 2,54), udang (€4,99), telur (€3,69 = 20butir), keju (€6,81=535gr), susu (€1,98=2L)  dan bumbu-bumbu jika ditotal €50. Kakakku membeli sabun-sabun dengan total €75. Ada beberapa hal yang aku lupa beli yaitu roti dan kentang, yang kemudian aku beli di pasar tapi lupa harganya berapa. Karena ketika kesana sudah memasuki musim dingin jadi sepeda kami minta untuk dikirim saja ke apartemen meski dengan biaya ekstra, pulang belanja dari AH kami menggunakan trem.

        Esok harinya aku dan kakak mengurus verblijf ke walikota setelah itu kami berpisah saya pergi melihat pasar sebab hari itu hari rabu dan kakakku ke kampus mengurus keperluan kuliahnya. Dipasar aku beli beberapa roti dan kentang dan memilih cepat kembali ke apartemen karena sudah mulai kedinginan. Diapartemen aku memilih untuk streaming radio ppi dunia dan nonton beberapa video di internet. Masalah internet di belanda jangan diraguin deh, download film baru ditinggal masak air saja sudah selesai.

          Selama di Belanda aku juga mengunjungi kota-kota lainnya, menggunakan kereta dari Leiden ke kota-kota lain itu hanya sekitar €6-€11, biaya termahal itu ketika ke ede. Biaya makan diluar itu sekitar €6-€25.

Study and Living

             Sekarang pendidikan strata 1 ku selesai dan saatnya untuk merencanakan masa depan.
Kini aku kembali ke rencana awalku sebelum memulai pendidikan strata 1 ku di Indonesia, ya untuk kuliah si luar negeri. Nama negara tujuan sudah ku kantongi dan waktunya untuk mencari universitas dengan program yang aku inginkan. Setelah berdiskusi panjang dengan keluarga akhirnya Leiden University lah tujuanku.

             Setelah semua adminstrasi dan biaya pendidikan telah selesai di urus, waktunya untuk mengurus masalah living. Living di Belanda bukanlah perkara mudah, semua perlu di persiapkan mulai dari tempat tinggal, biaya hidup, transportasi, bank, asuransi, izin tinggal dll. Bersyukur aku tak perlu memikirkan masalah tempat tinggal sebab aku memiliki satu apartemen di Belanda dan tidak jauh dari kampusku kelak.

         Masalah tempat tinggal selesai, selanjutnya adalah izin tinggal yang diperlukan untuk mengurus hal-hal lainnya. Segera ku proses visaku agar aku dapat segera terbang ke negara kincir angin. Visa telah ku dapat, segera ku berangkat ke belanda dan ku urus izin tinggalku. Selagi menunggu izin tinggalku keluar, aku mulai mempersiapkan tempat tinggal dan media transportasiku selama disana.

Hari keduaku di belanda aku menuju toko sepeda, disana aku ditawari 2 pilihan. Pilihan pertama adalah sepeda baru seharga 150 euro belum termasuk asuransi dan kunci pengaman, pilihan kedua adalah sepeda second dengan harga 25 euro sudah termasuk asuransi dan kunci pengaman. Pilihan ku jatuh di opsi kedua, sebab di belanda alat transportasi utama adalah sepeda dan di belanda banyak terjadi pencurian sepeda sehingga perlu adanya pengaman dan asuransi.

             Setelah sepeda ku dapat, selanjutnya adalah belanja kebutuhan pokok, setelah hari pertama di belanda makan aku beli makanan matang hari kedua aku mulai belanja kebutuhan pokok untuk keperluanku selama disana. Hal yang paling pertama aku cari adalah beras, yanga aku dapat di asian market seharga 25euro untuk 10kg dan belakangan aku tahu bahwa itu termasuk mahal dan beras thailand. Setelah mendapat telur, seafood, keju, beras dll aku segera kembali ke apartemenku, disana memang perabot rumahnya sudah lengkap dan aku tak perlu membeli lagi. Pada awal kedatangan ku di belanda aku masih belum berani untuk membeli ayam dan daging sebab khawatir dengan ke halalannya.

          Aku di belanda pada kali ini hanya selama 1,5 bulan, hanya untuk mengurus adminstrasi living dan beberapa keperluan lainya. Sesekali aku berkeliling kota untuk mengenal tempat tinggalku kelak, selain itu aku juga mengunjungi kota-kota lainnya. Selama di belanda aku di bantu oleh para PPI Belanda. Kini aku hanya tinggal menunggu keberangkatanku kembali ke belanda untuk memulai kuliah disana.

Singkatan dalam Materi OSN Matermatika

AHSME : American High School Math Exam

AIME : American Invitational Mathematics Examination

APMO : Asian Pasific Mathematical Olympiad

ARML : American Regions Mathematics League

Alabama MC : Alabama State-Wide Mathematics Contest

COMC : Canadian Open Mathematics Challenge

Hongkong PSC : Hongkong Preliminary Selection Contest

India RMO : India Regional Mathematical Olympiad

MATNC : Mu Alpha Theta National Convention

ME VXNY : Mathematical Excalibur Volume X Nomor Y

NHAC : Niels Henrik Abel Contest

OMITS : Olimpiade Matematika ITS

OSK : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Kabupaten/Kota

OSK SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Kabupaten/Kota

OSN : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Nasional

OSN SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Nasional

OSP : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Provinsi

OSP SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Provinsi

South Carolina MC : South Carolina Mathematics Contest

QAMT : Queensland Association of Mathematics Teacher

USAMTS : USA Mathematical Talent Search

Materi OSN Matematika part 4

KEKONGRUENAN
Konsep kekongruenan bilangan dikembangkan berdasarkan konsep bahwa setiap bilangan bulat positif
dapat dinyatakan ke dalam bentuk N = pq + r atau N - r = pq dengan p, q, r adalah bilangan bulat dan r
berada pada 0 = r < p. Persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan
r menyatakan sisa.

Persamaan di atas sering pula ditulis N = r (mod p)



Dari hal tersebut didapat definisi bahwa a = b (mod m) jika m.(a - b) untuk bilangan bulat a, b dan m.

Contoh :


(1) 25 = 1 (mod 4) sebab 4.24
(2) 1 = -3 (mod 4) sebab 4.4





Beberapa sifat berkaitan dengan modulu adalah sebagai berikut. Misalkan a, b, c, d dan m adalah
bilangan-bilangan bulat dengan d > 0 dan m > 0, berlaku :
(i) a = a (mod m)
(ii) Jika a = b (mod m), maka b = a (mod m)
(iii) Jika a = b (mod m) dan b = c (mod m) maka a = c (mod m)
(iv) Jika a = b (mod m) dan d.m maka a = b (mod d)
(v) Jika a = b (mod m) maka ak = bk (mod m) untuk semua k bilangan asli
(vi) Jika a = b (mod m) dan f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + ao maka f(a) = f(b) (mod m)
(vii) Jika a = b (mod m) dan c = d (mod m) maka a + c = b + d (mod m)
(viii) Jika a = b (mod m) dan c = d (mod m) maka ac = bd (mod m)
(ix) (am + b)k = bk (mod m) untuk semua k bilangan asli
(x) Dari sifat (viii) didapat (am + b)k · (cm + d)n = bk · dn (mod m) untuk semua k dan n bilangan asli
(xi) Jika ca = cb (mod m) dan FPB(c, m) = 1 maka a = b (mod m)
(xii) Misalkan n . N dan S(n) adalah penjumlahan digit-digit dari n maka berlaku n = S(n) (mod 9).
(xiii) n5 = n (mod 10) untuk setiap n . N.







Contoh 14 :
(OSP 2004 SMP/MTs) Untuk bilangan bulat a dan b, <a, b> artinya bilangan bulat tak negatif yang
merupakan sisa a x b jika dibagi oleh 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh <-3, 4> adalah ······



Solusi :

Karena -3 x 4 = - 12 = 5 x (-3) + 3 maka <-3, 4> = 3

Jadi, <-3, 4> = 3.





Contoh 15 :

(OSN 2003 SMP/MTs) Untuk menarik minat pelanggan, suatu restoran penjual makanan cepat saji
memberikan kupon berhadiah kepada setiap orang yang membeli makanan di restoran tersebut dengan
nilai lebih dari Rp. 25.000,-. Di balik setiap kupon tersebut tertera salah satu dari bilangan-bilangan
berikut : 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81. Pembeli yang berhasil mengumpulkan kupon dengan
jumlah bilangan di balik kupon tersebut sama dengan 100 akan diberi hadiah berupa TV 21”. Kalau
pemilik restoran tersebut menyediakan sebanyak 10 buah TV 21”, berapa banyak yang harus diserahkan
kepada para pelanggannya ?



Solusi :

Bilangan-bilangan 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81 semuanya habis dibagi 3.

Maka penjumlahan bilangan-bilangan mana pun di antara 9, 12, 42, 57, 69, 21, 15, 75, 24 dan 81 akan
menghasilkan suatu bilangan yang habis dibagi 3.

Tetapi 100 jika dibagi 3 akan bersisa 1.

Maka tidak ada TV yang diserahkan.



Contoh 16 :

Tentukan angka satuan dari .
777



Solusi :

Dalam persoalan bentuk perpangkatan dengan modulu m selalu diusahakan agar didapat suatu bilangan
yang bersisa 1 atau -1 jika dibagi dengan m agar memudahkan dalam perhitungan sebab 1k = 1 sedangkan
(-1)k sama dengan 1 atau -1 bergantung dari paritas k untuk k suatu bilangan bulat.

Angka satuan merupakan sisa jika suatu bilangan dibagi 10.

Alternatif 1 :

Perlu diingat bahwa 74 = 2401 yang bersisa 1 jika dibagi 10.

Maka akan dibuat pangkat dari bilangan pokok 7 dinyatakan dalam modulu 4.

72 = 1 (mod 4)

77 = (72)3 · 7 = 13 · 7 (mod 4) = 3 (mod 4)

Sehingga 77 = 4k + 3 untuk suatu bilangan asli k.

()3434777777·==+kk = (240 · 10 + 1)k · (34 · 10 + 3) = 1k · 3 (mod 10)

777 = 3 (mod 10)

Jadi, angka satuan dari adalah 3.
777



Alternatif 2 :

72 = 49 yang bersisa -1 jika dibagi 10.

Mngingat bahwa (-1)k bernilai positif hanya jika k genap maka akan dibuat pangkat dari bilangan pokok 7
dinyatakan dalam modulu 4.

72 = 1 (mod 4)

77 = (72)3 · 7 = 13 · 7 (mod 4) = 3 (mod 4)

Sehingga 77 = 4k + 3 untuk suatu bilangan asli k.

777 = 74k+3 = (72)2k · 73 = (5 · 10 - 1)2k · (343) (mod 10) = (-1)2k · (3) (mod 10) = 3 (mod 10)

Jadi, angka satuan dari adalah 3.
777

Cara lain penyelesaian soal tersebut adalah dengan melihat pola dari angka satuan yang selalu berulang.
Cara ini tidak dibahas dalam contoh ini dan dipersilakan kepada Pembaca untuk menyelesaikannya.



Contoh 17 :

Tentukan angka satuan dari 20072009.



Solusi :

Mencari angka satuan dari suatu bilangan sama dengan mencari sisa jika bilangan tersebut dibagi 10.

20072009 = (200 · 10 + 7)2009

20072009 = 72009 (mod 10) (menggunakan sifat (ix)

Alternatif 1 :

20072009 = (74)502 · 71 (mod 10)

20072009 = (240 · 10 + 1)502 · 71 (mod 10)

20072009 = 1502 · 7 (mod 10) (menggunakan sifat (x)

20072009 = 7 (mod 10)

Jadi, angka satuan 20072009 adalah 7.



Alternatif 2 :

20072009 = (72)1004 · 71 (mod 10)

20072009 = (5 · 10 - 1)1004 · 71 (mod 10)

20072009 = (-1)1004 · 7 (mod 10) (menggunakan sifat (x)

20072009 = 7 (mod 10)

Jadi, angka satuan 20072009 adalah 7.


Contoh 18 :

(OSK 2004 SMP/MTs) Jika 213 dibagi dengan 13, maka akan memberikan sisa sama dengan ·····



Solusi :

Alternatif 1 :

213 = 8192 = 13 · 630 + 2

Maka sisa jika 213 dibagi dengan 13 adalah 2.



Alternatif 2 :

Alternatif 1 bisa digunakan untuk suatu bilangan-bilangan kecil. Tetapi jika pangkat dari 2 merupakan
bilangan yang besar maka cara tersebut tidak efektif. Alternatif berikut bisa dipertimbangkan.

213 =(26)2 · 2 = (13 · 5 - 1)2 · 2 = (-1)2 · 2 (mod 13) = 2 (mod 13)

Maka sisa jika 213 dibagi dengan 13 adalah 2.





Contoh 19 :

Tentukan sisa pembagian 3 · 53 + 272010 oleh 7.



Solusi :

53 = (8 · 7 - 3) = -3 (mod 7)

3 · 53 = 3 (-3) (mod 7) = -9 (mod 7) = -2 (mod 7)

27 = -1 (mod 7) sehingga 272010 = (-1)2010 (mod 7) = 1 (mod 7)

3 · 53 + 272010 = -2 + 1 (mod 7) = -1 (mod 7) = 6 (mod 7)

Jadi, sisa pembagian 3 · 53 + 272010 oleh 7 adalah 6.





Contoh 20 :

(MATNC 2001) N adalah bilangan asli yang memenuhi N = 2 (mod 3) dan N = 1 (mod 2). Tentukan sisanya
jika N dibagi 6.



Solusi :

Alternatif 1 :

Karena N jika dibagi 3 bersisa 2 maka N jika dibagi 6 akan bersisa 2 atau 5.

Karena N bersisa 1 jika dibagi 2 maka tidak mungkin N akan berbentuk N = 6k + 2.

Maka N = 6k + 5.

Jadi, jika N dibagi 6 maka akan bersisa 5.



Alternatif 2 :

Karena N = 1 (mod 2) maka N = 2p - 1 untuk suatu bilangan bulat p.

2p - 1 = 2 (mod 3) sehingga 2p = 0 (mod 3)

Karena 2 dan 3 relatif prima maka p = 0 (mod 3)

Maka didapat p = 3q untuk suatu bilangan bulat q.

N = 6q - 1 = -1 (mod 6) = 5 (mod 6)

Jadi, sisanya jika N dibagi 6 adalah 5.



Alternatif 3 :

Karena N = 1 (mod 2) maka N = 2p + 1 untuk suatu bilangan bulat p.

2p + 1 = 2 (mod 3) sehingga 2p = 1 (mod 3)

Karena 2 dan 3 relatif prima maka p = 2 (mod 3)

Maka didapat p = 3q + 2 untuk suatu bilangan bulat q.

N = 2(3q + 2) + 1 = 5 (mod 6)

Jadi, sisanya jika N dibagi 6 adalah 5.

Alternatif 4 :

Karena N = 2 (mod 3) maka N = 3p + 2 untuk suatu bilangan bulat p.

3p + 2 = 1 (mod 2) sehingga 3p = 1 (mod 2)

Karena 2 dan 3 relatif prima maka p = 1 (mod 2)

Maka didapat p = 2q + 1 untuk suatu bilangan bulat q.

N = 3(2q + 1) + 2 = 5 (mod 6)

Jadi, sisanya jika N dibagi 6 adalah 5.





Contoh 21 :

Tentukan dua angka terakhir dari 32009.



Solusi :

32009 = (35)400 · 39 = (243)400 · 39

32009 = (43)400 · 39 (mod 100)

32009 = (1849)200 · 39 (mod 100)

32009 = (49)200 · 19683 (mod 100)

32009 = (2401)100 · 83 (mod 100)

32009 = (1)100 · 83 (mod 100)

32009 = 83 (mod 100)

Jadi, dua angka terakhir dari 32009 adalah 83.

Materi OSN Matematika part 3

UJI HABIS DIBAGI
Sebuah bilangan memiliki sifat khusus jika dibagi oleh suatu bilangan tertentu. Beberapa sifat tersebut
adalah :


a. Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5.
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.


b. Suatu bilangan habis dibagi 2n jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi
2n.
Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 23 sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

 4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16


c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.


d. Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.


e. Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut
pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh
bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.








Contoh :
(OSK 2003) Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang
habis dibagi 9 ?



Solusi :

Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9)

Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilangan-bilangan tersebut
yang habis dibagi 9.





Contoh 8 :

(Canadian MO 1980) Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.



Solusi :

72 = 9 · 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi
8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.

Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3.

Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

Materi OSN Matematika part 2

SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN

Definisi : Sebuah bilangan bulat a dikatakan membagi b (ditulis a.b) jika terdapat bilangan bulat k
sehingga b = a · k. Beberapa hal berkaitan dengan pembagian adalah sebagai berikut :

1.1 Misalkan a, b, c, x dan y bilangan bulat, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku :


(1) a.a (semua bilangan bulat membagi dirinya sendiri)
(2) a.0 (semua bilangan bulat membagi 0)
(3) 1.a (satu membagi semua bilangan bulat)
(4) Jika a.1 maka a = ±1
(5) Jika a.b maka a.xb
(6) Jika ab.c maka a.c dan b.c
(7) Jika a.b dan b.c maka a.c
(8) Jika a.b dan a.c maka a.(bx + cy)
(9) Jika a.b maka xa.xb
(10) Jika a.b dan b . 0 maka .a. = .b.
(11) Jika a.b dan b.a maka a = ±b
(12) Jika a.bc dan FPB(a, b) = 1 maka a.c
(13) 0.a hanya jika a = 0


1.2 Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi
ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.
Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) dua bilangan
tersebut sama dengan 1.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

45 habis dibagi 15. Maka 45 juga habis dibagi 3 dan 45 juga habis dibagi 5.

12 habis dibagi 4 dan 12 juga habis dibagi 6 tetapi 12 tidak habis dibagi 4 · 6 = 24 sebab 4 dan 6
tidak relatif prima, FPB (4, 6) = 2

1.3 Bilangan yang dapat diubah menjadi perkalian n bilangan bulat berurutan akan habis dibagi n!
dengan tanda “!” menyatakan faktorial. n! = 1 · 2 · 3 · ··· · n.

Contoh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkalian 4 bilangan bulat berurutan maka habis dibagi 4! = 24.

1.4 Mengingat penjabaran pada dua persamaan berikut :

(i) (an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ··· + abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan asli

(ii) (an + bn) = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ··· - abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan ganjil

Maka (a - b) membagi (an - bn) untuk semua a, b bulat dan n bilangan asli

 (a + b) membagi (an + bn) untuk semua a, b bulat dan n bilangan ganjil





Contoh 2 :

(OSN 2003 SMP/MTs) Buktikan bahwa (n - 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan
asli n.



Solusi :

Alternatif 1 :

Berdasarkan 1.2 didapat bahwa jika (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6 maka (n - 1)n(n3 + 1) habis akan dibagi
2 dan juga habis dibagi 3. Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis
dibagi 3 maka dapat dibuktikan (n - 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli
n.

(n - 1) dan n adalah 2 bilangan bulat berurutan maka (n - 1)n akan habis dibagi 2.

Berdasarkan 2.1 poin (1) maka (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2.

Sebuah bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k + 1 atau 3k + 2.

Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3.(n - 1)n(n3 + 1)

Jika n = 3k + 1 maka 3.(n - 1) sehingga 3.(n - 1)n(n3 + 1).

Jika n = 3k + 2 maka n3 + 1 =(3k + 2)3 + 1 = 3(9k3 + 18k2 + 12k + 3) sehingga 3.(n3 + 1).

Maka 3.(n - 1)n(n3 + 1).
Didapat bahwa (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 relatif prima maka
(n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 · 3 = 6.

Jadi, (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.



Alternatif 2 :

(n - 1)n(n3 + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n2 - n + 1)

Karena n - 1, n dan n tiga bilangan asli berurutan maka (n - 1)n(n + 1)(n2 - n + 1) habis dibagi oleh 3!= 6.

Jadi, (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.





Contoh 3 :

(OSK 2005 SMP/MTS) Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13 dan
b = -2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254 dan 1986 yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b ?

A. 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. tak ada



Solusi :

Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b dengan a = -2 dan b = 1. Karena 1
membagi semua bilangan bulat maka semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b.
(Jawaban : D)

Misalkan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan terjadi saat a = -2k dan b = k.





Contoh 4 :

Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105



Solusi :

Karena 105 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7.

3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435

Karena 35 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91.

Karena 91 = 7 · 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421

Karena 21 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 · 181 maka 3105 + 4105
habis dibagi 181.





Contoh 5 :

(OSK 2004 SMP/MTS) Semua n sehingga n dan 13-
+
nn keduanya merupakan bilangan bulat adalah ·····



Solusi :

Alternatif 1 :

Perhatikan bahwa 14141131--
+-
-
++==nnnnn

Agar 141-+n merupakan bilangan bulat maka n - 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n - 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah -3, -1, 0, 2, 3 dan 5.



Alternatif 2 :

Selain dengan menggunakan sifat keterbagian, soal tersebut juga bisa diselesaikan dengan memfaktorkan.

Misalkan m = 13-
+
nn untuk suatu bilangan bulat n dan m.

Persamaan di atas ekivalen dengan

n + 3 = mn - m

(m - 1)(n - 1) = 4.
n - 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n - 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah -3, -1, 0, 2, 3 dan 5.





Contoh 6 :

(OSP 2005 SMP/MTs) Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi 132=+nm adalah ·········



Solusi :

Persamaan pada soal ekivalen dengan 2n + 3m = mn

(m - 2)(n - 3) = 6

Dengan demikian m - 2 dan n - 3 keduanya merupakan faktor dari 6.

Karena m dan n bilangan asli maka m - 2 > -2 dan n - 3 > -3

Maka m - 2 = 1, 2, 3 atau 6. Jadi m = 3, 4, 5 atau 8.

Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4).

Materi OSN Matematika Part 1

A. Aljabar
1. PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN
Beberapa bentuk pemfaktoran maupun penguraian yang harus diketahui adalah :

(i) x2 - y2 = (x + y)(x - y)
(ii) x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
(iii) x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
(iv) x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)
(v) (x + y)(x - y)2 = x3 - x2y - xy2 + y3
(vi) (an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ··· + abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan asli
(vii) (an + bn) = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ··· - abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan ganjil
(viii) (x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1
(ix) x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2 - 2xy)
(x) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(xi) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(xii) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
(xiii) (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
(xiv) (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy(x - y)
(xv) (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y3
(xvi) (x - y)4 = x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y3


Penguraian bentuk (x + y)n untuk n > 4 dapat menggunakan binomial Newton yang akan diterangkan
dalam bagian lain.
Berdasarkan bentuk (vi) dan (vii) didapat fakta bahwa (a - b) membagi (an - bn) untuk n asli dan (a + b)
membagi (an + bn) untuk n ganjil yang terkadang digunakan untuk menyelesaikan soal pada teori
bilangan.





Contoh 1 :

(OSK 2004 SMP/MTs) Nilai dari LL=-2249505050



Solusi :

Perhatikan bahwa a2 - b2 = (a + b)(a - b) maka

()(49505050495050504950505022-+=-

()()1000000100100004950505022==-

000.14950505022=-





Contoh 2 :

(OSK 2005 SMP/MTs) Salah satu faktor dari 173 - 53 adalah ·······

A. 5 B. 17 C. 13 D. 273 E. 399



Solusi :

Perhatikan bahwa a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) maka

173 - 53 = (17 - 5)(172 + 17 · 5 + 52)

173 - 53 = 12 · 399 (Jawaban : E)


Mengingat bahwa (a + b)(a - b) = a2 - b2 maka jika penyebut tersebut dikalikan dengan lawannya akan
didapat bentuk penyebut yang rasional.



Contoh 3 :

(OSK 2011 Tipe 1) Jika A = 5x + 5-x dan B = 5x - 5-x maka A2 - B2 adalah ·······



Solusi :

A = 5x + 5-x dan B = 5x – 5-x

A + B = (5x + 5-x) + (5x - 5-x) = 2 · 5x

A - B = (5x + 5-x) - (5x - 5-x) = 2 · 5-x

A2 - B2 = (A + B)(A - B) = 2 · 5x · 2 · 5-x = 4

Jadi, A2 - B2 = 4.





Contoh 4 :

Rasionalkan penyebut dari 272-
.



Solusi :

Kuadrat dari suatu bentuk akar menghasilkan bilangan tersebut.

272-
= 272-
· 2727+
+ = ()2752+

Akhirnya didapat penyebut yang merupakan bilangan rasional, yaitu 5. Contoh di atas adalah contoh
dengan penyebutnya merupakan penjumlahan dua bilangan. Jika penyebutnya merupakan penjumlahan
lebih dari dua bilangan, maka perkalian dengan lawanya dilakukan lebih dari satu kali.





Contoh 5 :

Rasionalkan penyebut dari 5321-+



Solusi :

5321-+ = 5321-+ · ()
()532532++
++

((2 + 3) - 5) ((2 + 3) + 5) = (2 + 3)2 - (5)2 = 2 + 43

5321-+ = 342532+
++ · 132132-
- = 225152433-++

Jadi, 5321-+ = 225152433-++





Contoh 6 :

(OSP 2010 SMP/MTs) Jika p = 13141- dan q = 13141+
, maka nilai dari p2 + pq + q2 adalah ········



Solusi :

pq = 13141- · 13141+ = 13141- = 1

p + q = 13141- + 13141+
= 131413141314-
-++ = 214

(p + q)2 = 56

p2 + pq + q2 = (p + q)2 - pq

p2 + pq + q2 = 56 - 1 = 55

Jadi, nilai dari p2 + pq + q2 adalah 55.





Contoh 7 :

Jika a2 + b2 = 6ab maka tentukan nilai dari baba-
+ untuk a, b . 0.



Solusi :

Misalkan x = baba-
+ maka

x2 = ()2baba-
+

x2 = abbaabba222222-+
++

Karena a2 + b2 = 6ab maka x2 = abab48 = 2

Jadi, baba-
+ = 2





Contoh 8 :

Hitunglah 32+ - 32-.



Solusi :

Misalkan X = 32+ - 32-

X2 = (2 + 3) + (2 - 3) - 2322-

X2 = 4 - 2

X2 = 2

Maka 32+ - 32- = 2





Contoh 9 :

(AIME 1989) Nilai dari 313029281···+ adalah ······



Solusi :

Mengingat bahwa 1 + (n - 1)(n)(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1) - 1)2 maka

313029281···+ = 29 · 30 - 1

313029281···+ = 869.





Contoh 10 :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 32+x - x-7 = 1



Solusi :

32+x - x-7 = 1

Karena bilangan dalam akar harus tak negatif maka penyelesaian persamaan tersebut harus memenuhi
syarat -23
= x = 7

32+x = 1 + x-7

2x + 3 = 1 + 7 - x + 2x-7

3x - 5 = 2x-7

Kuadratkan kedua ruas dengan syarat 3x - 5 = 0 sebab x-7 = 0

9x2 - 30x + 25 = 4(7 - x)

9x2 - 26x - 3 = 0

(9x + 1)(x - 3) = 0

x = 3 atau x = -91 (tidak memenuhi syarat x = 35)

Untuk x = 3 maka 32+x - x-7 = 3 - 2 = 1.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3.





Contoh 11 :

Jika a2 = 7b + 1945 dan b2 = 7a + 1945 dengan a dan b adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari ab
adalah ·····



Solusi :

a2 = 7b + 1945 dan b2 = 7a + 1945

a2 - b2 = 7(b - a)

Karena a . b maka a + b = -7

a2 + b2 = 7(b + a) + 3890

(a + b)2 - 2ab = 7(a + b) + 3890

49 - 2ab = -49 + 3890

ab = -1896





Contoh 12 :

a, b, c dan d adalah bilangan real tak nol yang memenuhi

a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1

ac + bd = 0

Buktikan bahwa ab + cd = 0.



Solusi :

Karena ac + bd = 0 maka

ba = -cd ··························· (1)

Misalkan ba = -cd = k maka

a = bk dan d = -ck

a2 + b2 = 1

b2(k2 + 1) = 1

k2 + 1 = 21b ·················· (2)

c2 + d2 = 1

c2(k2 + 1) = 1

Subtitusikan persamaan (2).

b2 = c2

ab + cd = bk · b + c (-ck)

ab + cd = b2k - c2k

ab + cd = (b2 - c2)k

Karena b2 = c2 maka ab + cd = (b2 - c2)k = 0

Jadi, terbukti bahwa ab + cd = 0.