Materi OSN Matematika Part 1

A. Aljabar
1. PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN
Beberapa bentuk pemfaktoran maupun penguraian yang harus diketahui adalah :

(i) x2 - y2 = (x + y)(x - y)
(ii) x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
(iii) x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
(iv) x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)
(v) (x + y)(x - y)2 = x3 - x2y - xy2 + y3
(vi) (an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ··· + abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan asli
(vii) (an + bn) = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ··· - abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan ganjil
(viii) (x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1
(ix) x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2 - 2xy)
(x) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(xi) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(xii) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
(xiii) (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
(xiv) (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy(x - y)
(xv) (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y3
(xvi) (x - y)4 = x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y3


Penguraian bentuk (x + y)n untuk n > 4 dapat menggunakan binomial Newton yang akan diterangkan
dalam bagian lain.
Berdasarkan bentuk (vi) dan (vii) didapat fakta bahwa (a - b) membagi (an - bn) untuk n asli dan (a + b)
membagi (an + bn) untuk n ganjil yang terkadang digunakan untuk menyelesaikan soal pada teori
bilangan.





Contoh 1 :

(OSK 2004 SMP/MTs) Nilai dari LL=-2249505050



Solusi :

Perhatikan bahwa a2 - b2 = (a + b)(a - b) maka

()(49505050495050504950505022-+=-

()()1000000100100004950505022==-

000.14950505022=-





Contoh 2 :

(OSK 2005 SMP/MTs) Salah satu faktor dari 173 - 53 adalah ·······

A. 5 B. 17 C. 13 D. 273 E. 399



Solusi :

Perhatikan bahwa a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) maka

173 - 53 = (17 - 5)(172 + 17 · 5 + 52)

173 - 53 = 12 · 399 (Jawaban : E)


Mengingat bahwa (a + b)(a - b) = a2 - b2 maka jika penyebut tersebut dikalikan dengan lawannya akan
didapat bentuk penyebut yang rasional.



Contoh 3 :

(OSK 2011 Tipe 1) Jika A = 5x + 5-x dan B = 5x - 5-x maka A2 - B2 adalah ·······



Solusi :

A = 5x + 5-x dan B = 5x – 5-x

A + B = (5x + 5-x) + (5x - 5-x) = 2 · 5x

A - B = (5x + 5-x) - (5x - 5-x) = 2 · 5-x

A2 - B2 = (A + B)(A - B) = 2 · 5x · 2 · 5-x = 4

Jadi, A2 - B2 = 4.





Contoh 4 :

Rasionalkan penyebut dari 272-
.



Solusi :

Kuadrat dari suatu bentuk akar menghasilkan bilangan tersebut.

272-
= 272-
· 2727+
+ = ()2752+

Akhirnya didapat penyebut yang merupakan bilangan rasional, yaitu 5. Contoh di atas adalah contoh
dengan penyebutnya merupakan penjumlahan dua bilangan. Jika penyebutnya merupakan penjumlahan
lebih dari dua bilangan, maka perkalian dengan lawanya dilakukan lebih dari satu kali.





Contoh 5 :

Rasionalkan penyebut dari 5321-+



Solusi :

5321-+ = 5321-+ · ()
()532532++
++

((2 + 3) - 5) ((2 + 3) + 5) = (2 + 3)2 - (5)2 = 2 + 43

5321-+ = 342532+
++ · 132132-
- = 225152433-++

Jadi, 5321-+ = 225152433-++





Contoh 6 :

(OSP 2010 SMP/MTs) Jika p = 13141- dan q = 13141+
, maka nilai dari p2 + pq + q2 adalah ········



Solusi :

pq = 13141- · 13141+ = 13141- = 1

p + q = 13141- + 13141+
= 131413141314-
-++ = 214

(p + q)2 = 56

p2 + pq + q2 = (p + q)2 - pq

p2 + pq + q2 = 56 - 1 = 55

Jadi, nilai dari p2 + pq + q2 adalah 55.





Contoh 7 :

Jika a2 + b2 = 6ab maka tentukan nilai dari baba-
+ untuk a, b . 0.



Solusi :

Misalkan x = baba-
+ maka

x2 = ()2baba-
+

x2 = abbaabba222222-+
++

Karena a2 + b2 = 6ab maka x2 = abab48 = 2

Jadi, baba-
+ = 2





Contoh 8 :

Hitunglah 32+ - 32-.



Solusi :

Misalkan X = 32+ - 32-

X2 = (2 + 3) + (2 - 3) - 2322-

X2 = 4 - 2

X2 = 2

Maka 32+ - 32- = 2





Contoh 9 :

(AIME 1989) Nilai dari 313029281···+ adalah ······



Solusi :

Mengingat bahwa 1 + (n - 1)(n)(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1) - 1)2 maka

313029281···+ = 29 · 30 - 1

313029281···+ = 869.





Contoh 10 :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 32+x - x-7 = 1



Solusi :

32+x - x-7 = 1

Karena bilangan dalam akar harus tak negatif maka penyelesaian persamaan tersebut harus memenuhi
syarat -23
= x = 7

32+x = 1 + x-7

2x + 3 = 1 + 7 - x + 2x-7

3x - 5 = 2x-7

Kuadratkan kedua ruas dengan syarat 3x - 5 = 0 sebab x-7 = 0

9x2 - 30x + 25 = 4(7 - x)

9x2 - 26x - 3 = 0

(9x + 1)(x - 3) = 0

x = 3 atau x = -91 (tidak memenuhi syarat x = 35)

Untuk x = 3 maka 32+x - x-7 = 3 - 2 = 1.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3.





Contoh 11 :

Jika a2 = 7b + 1945 dan b2 = 7a + 1945 dengan a dan b adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari ab
adalah ·····



Solusi :

a2 = 7b + 1945 dan b2 = 7a + 1945

a2 - b2 = 7(b - a)

Karena a . b maka a + b = -7

a2 + b2 = 7(b + a) + 3890

(a + b)2 - 2ab = 7(a + b) + 3890

49 - 2ab = -49 + 3890

ab = -1896





Contoh 12 :

a, b, c dan d adalah bilangan real tak nol yang memenuhi

a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1

ac + bd = 0

Buktikan bahwa ab + cd = 0.



Solusi :

Karena ac + bd = 0 maka

ba = -cd ··························· (1)

Misalkan ba = -cd = k maka

a = bk dan d = -ck

a2 + b2 = 1

b2(k2 + 1) = 1

k2 + 1 = 21b ·················· (2)

c2 + d2 = 1

c2(k2 + 1) = 1

Subtitusikan persamaan (2).

b2 = c2

ab + cd = bk · b + c (-ck)

ab + cd = b2k - c2k

ab + cd = (b2 - c2)k

Karena b2 = c2 maka ab + cd = (b2 - c2)k = 0

Jadi, terbukti bahwa ab + cd = 0.