Materi OSN Matematika part 2

SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN

Definisi : Sebuah bilangan bulat a dikatakan membagi b (ditulis a.b) jika terdapat bilangan bulat k
sehingga b = a · k. Beberapa hal berkaitan dengan pembagian adalah sebagai berikut :

1.1 Misalkan a, b, c, x dan y bilangan bulat, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku :


(1) a.a (semua bilangan bulat membagi dirinya sendiri)
(2) a.0 (semua bilangan bulat membagi 0)
(3) 1.a (satu membagi semua bilangan bulat)
(4) Jika a.1 maka a = ±1
(5) Jika a.b maka a.xb
(6) Jika ab.c maka a.c dan b.c
(7) Jika a.b dan b.c maka a.c
(8) Jika a.b dan a.c maka a.(bx + cy)
(9) Jika a.b maka xa.xb
(10) Jika a.b dan b . 0 maka .a. = .b.
(11) Jika a.b dan b.a maka a = ±b
(12) Jika a.bc dan FPB(a, b) = 1 maka a.c
(13) 0.a hanya jika a = 0


1.2 Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi
ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.
Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) dua bilangan
tersebut sama dengan 1.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

45 habis dibagi 15. Maka 45 juga habis dibagi 3 dan 45 juga habis dibagi 5.

12 habis dibagi 4 dan 12 juga habis dibagi 6 tetapi 12 tidak habis dibagi 4 · 6 = 24 sebab 4 dan 6
tidak relatif prima, FPB (4, 6) = 2

1.3 Bilangan yang dapat diubah menjadi perkalian n bilangan bulat berurutan akan habis dibagi n!
dengan tanda “!” menyatakan faktorial. n! = 1 · 2 · 3 · ··· · n.

Contoh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkalian 4 bilangan bulat berurutan maka habis dibagi 4! = 24.

1.4 Mengingat penjabaran pada dua persamaan berikut :

(i) (an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ··· + abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan asli

(ii) (an + bn) = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ··· - abn-2 + bn-1) dengan n . bilangan ganjil

Maka (a - b) membagi (an - bn) untuk semua a, b bulat dan n bilangan asli

 (a + b) membagi (an + bn) untuk semua a, b bulat dan n bilangan ganjil





Contoh 2 :

(OSN 2003 SMP/MTs) Buktikan bahwa (n - 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan
asli n.



Solusi :

Alternatif 1 :

Berdasarkan 1.2 didapat bahwa jika (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6 maka (n - 1)n(n3 + 1) habis akan dibagi
2 dan juga habis dibagi 3. Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis
dibagi 3 maka dapat dibuktikan (n - 1)n(n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli
n.

(n - 1) dan n adalah 2 bilangan bulat berurutan maka (n - 1)n akan habis dibagi 2.

Berdasarkan 2.1 poin (1) maka (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2.

Sebuah bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k + 1 atau 3k + 2.

Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3.(n - 1)n(n3 + 1)

Jika n = 3k + 1 maka 3.(n - 1) sehingga 3.(n - 1)n(n3 + 1).

Jika n = 3k + 2 maka n3 + 1 =(3k + 2)3 + 1 = 3(9k3 + 18k2 + 12k + 3) sehingga 3.(n3 + 1).

Maka 3.(n - 1)n(n3 + 1).
Didapat bahwa (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 relatif prima maka
(n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 2 · 3 = 6.

Jadi, (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.



Alternatif 2 :

(n - 1)n(n3 + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n2 - n + 1)

Karena n - 1, n dan n tiga bilangan asli berurutan maka (n - 1)n(n + 1)(n2 - n + 1) habis dibagi oleh 3!= 6.

Jadi, (n - 1)n(n3 + 1) habis dibagi 6.





Contoh 3 :

(OSK 2005 SMP/MTS) Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13 dan
b = -2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254 dan 1986 yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b ?

A. 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. tak ada



Solusi :

Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b dengan a = -2 dan b = 1. Karena 1
membagi semua bilangan bulat maka semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b.
(Jawaban : D)

Misalkan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan terjadi saat a = -2k dan b = k.





Contoh 4 :

Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105



Solusi :

Karena 105 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7.

3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435

Karena 35 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91.

Karena 91 = 7 · 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421

Karena 21 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 · 181 maka 3105 + 4105
habis dibagi 181.





Contoh 5 :

(OSK 2004 SMP/MTS) Semua n sehingga n dan 13-
+
nn keduanya merupakan bilangan bulat adalah ·····



Solusi :

Alternatif 1 :

Perhatikan bahwa 14141131--
+-
-
++==nnnnn

Agar 141-+n merupakan bilangan bulat maka n - 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n - 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah -3, -1, 0, 2, 3 dan 5.



Alternatif 2 :

Selain dengan menggunakan sifat keterbagian, soal tersebut juga bisa diselesaikan dengan memfaktorkan.

Misalkan m = 13-
+
nn untuk suatu bilangan bulat n dan m.

Persamaan di atas ekivalen dengan

n + 3 = mn - m

(m - 1)(n - 1) = 4.
n - 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n - 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah -3, -1, 0, 2, 3 dan 5.





Contoh 6 :

(OSP 2005 SMP/MTs) Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi 132=+nm adalah ·········



Solusi :

Persamaan pada soal ekivalen dengan 2n + 3m = mn

(m - 2)(n - 3) = 6

Dengan demikian m - 2 dan n - 3 keduanya merupakan faktor dari 6.

Karena m dan n bilangan asli maka m - 2 > -2 dan n - 3 > -3

Maka m - 2 = 1, 2, 3 atau 6. Jadi m = 3, 4, 5 atau 8.

Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4).