Materi OSN Matematika part 3

UJI HABIS DIBAGI
Sebuah bilangan memiliki sifat khusus jika dibagi oleh suatu bilangan tertentu. Beberapa sifat tersebut
adalah :


a. Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5.
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.


b. Suatu bilangan habis dibagi 2n jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi
2n.
Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 23 sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

 4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16


c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.


d. Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.


e. Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut
pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh
bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.








Contoh :
(OSK 2003) Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang
habis dibagi 9 ?



Solusi :

Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9)

Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilangan-bilangan tersebut
yang habis dibagi 9.





Contoh 8 :

(Canadian MO 1980) Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.



Solusi :

72 = 9 · 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi
8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.

Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3.

Jadi bilangan tersebut adalah 36792.